DERIVADA COSENO INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO, UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA, PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO Y UNIVERSIDAD:
PUEDE INTERESAR LA CONSULTA DE LOS SIGUIENTES ARTÍCULOS RELACIONADOS:
- INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
- EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DE LÍMITES MEDIANTE INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES O UTILIZANDO LA REGLA DE L´HÔPITAL
- REGLA DE L’HOPITAL FRENTE A INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES
- UTILIZACIÓN DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES PARA LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO.
- USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
- USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO
Deseamos calcular la derivada de la función coseno de x, f(x)=cos x, pero utilizando la definición de derivada. Con frecuencia cuando comenzamos a derivar, utilizamos la definición de derivada para ejemplos sencillos, justificando de este modo la tabla de derivadas que les presentamos, pero no disponemos en clase de los conocimientos suficientes para hacer derivadas, utilizando la definición, de funciones complicadas.
Con este ejemplo volvemos atrás para solucionar esta salvedad, la del acto de fé que hacen nuestros alumnos cuando les presentamos la tabla de derivadas con muchísimos elementos que no se les han podido demostrar, utilizando la definición de la operación.
Cuando en clase, en el curso, o en posteriores se ha llegado a ver, dentro del tema de LÍMITES, lo correspondiente a INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, se puede retomar esta cuestión y aparte de resolverla, no deja de ser un buen ejemplo de uso de límites de cierto nivel.
EJERCICIO M2BP360:
Utilizando la definición de derivada, obtener la derivada de la función f(x) = cos x.
RESOLUCIÓN:
Pretendemos obtener la derivada de la función coseno, a partir de la definición de derivada de una función. La definición de derivada:
Si queremos obtener la derivada de f(x) = cos x
Teniendo en cuenta la relación trigonométrica que nos da el coseno de la suma de dos ángulos:
podemos desarrollar la expresión anterior del siguiente modo:
Donde hemos reordenado el numerador en función de nuestra conveniencia futura, como veremos más adelante:
Si utilizamos ahora la propiedad del límite de la suma (resta) de dos funciones, que es igual a la suma (resta) de los límites, para poder calcular los límites por separado:
Si ahora tenemos en cuenta los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES que nos interesan en este caso, que son:
Para el primero de los límites:
Para el segundo de los límites:
Sustituyendo las expresiones por su equivante, podemos volver a la expresión anterior y obtener el valor de la derivada de la función coseno, utilizando la definición:
Que como podemos ver es el elemento que le hemos presentado a los alumnos en la tabla de derivadas habitual, pero que en su momento, con casi total seguridad, no les hemos podido demostrar ya que normalmente no conocen las posibilidades de cálculo de límites complicados usando la herramienta de los INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.