INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES CÁLCULO LÍMITES

AYUDANDO A NUESTROS ALUMNOS QUE YA ESTÁN EN LA UNIVERSIDAD

INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES:

Artículo publicado a sugerencia de uno de nuestros antiguos alumnos, que cursa ingeniería. La solucitud la realiza en la primera reunión de la reciente ASOCIACIÓN DE ANTIGUOS ALUMNOS DE «EL PILAR».

INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES:

Es una estrategia alternativa al CÁLCULO DE LÍMITES MEDIANTE LA REGLA DE L’HÔPITAL.

Básicamente es el reflejo de las tendencias de funciones infinitésimas en un punto expresado en una regla que nos ayuda a calcular límites, ya que con las tablas de equivalencia de infinitésimos podemos sustituir unas expresiones por otras equivalentes, cuando aparecen multiplicando o dividiendo estas expresiones; pero antes debemos aclarar algunas cosas:

Infinitésimos son funciones cuyo límite en x=a es igual a cero; O lo que es lo mismo: f(x) es un infinitésimo en x=a si:

«por ello a veces decimos que un infinitésimo es un algo infinitamente pequeño»

Son infinitésimos en un entorno de x=0, las funciones:

Ya que para todas ellas:

Están muy claros estos límites, basta con sustituir a lo básico:

Por otro lado: dos funciones son equivalentes en un entorno de x=a si

Según esto, dos infinitésimos son equivalentes en un entorno de x=a si:

Por ello, decimos que por ejemplo: f(x)= sen x y g(x) = x, son infinitésimos equivalentes en x=0,

Ya que:

No tenemos por qué calcularlo por L´Hôpital, ya que si representamos la función (dando valores o utilizando WIRIS, vemos que ésa es la tendencia de la función en un entorno de x=0)

Se ve perfectamente que la combinación de funciones tiende a uno.

Con todo ello, se elaboran tablas de equivalencia de infinitésimos en entornos determinados, de las cuales una de las más utilizadas:

En un entorno de x=0

Del mismo modo, si f(x) es un infinitésimo en un entorno de x=0:

Tabla que amplía muchísimo las posibilidades de cálculo de límites usando los infinitésimos equivalentes.

En un entorno de x=1

Se puede sustituir un infinitésimo por su equivalente con tranquilidad cuando se encuentran multiplicando o dividiendo. Cuando están sumando o restando no, la expresión en general no resulta equivalente, a menos que descomponiendo el límite pedido, se cumpla con las propiedades de los límites.

CASOS PRÁCTICOS DE USO DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES, PARA OBTENCIÓN DE DERIVADAS CON LA DEFINICIÓN DE FUNCIONES QUE GENERAN LÍMITES COMPLICADOS DE RESOLVER:

(para la resolución de estos ejercicios, se necesita utilizar infinitésimos equivalentes)

EJERCICIO M2BP359:

Utilizando la definición de derivada, hallar la derivada de la función f(x) = sen x

IR A RESOLUCIÓN DE ESTE EJERCICIO DE APLICACIÓN DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES EN EL CÁLCULO DE LA DERIVADA UTILIZANDO LA DEFINICIÓN

EJERCICIO M2BP360:

Utilizando la definición de derivada, hallar la derivada de la función f(x) = cos x

IR A LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO, UTILIZANDO LA DEFINICIÓN Y ESTA ESTRATEGIA DE LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.

EJERCICIO M2BP361:

Utilizando la definición de derivada, hallar la derivada de la función f(x) = e^x

IR A LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL, UTILIZANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Y LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES PARA EL CÁLCULO DEL LÍMITE QUE RESULTA.

EJERCICIO M2BP364:

Utilizando la definición de derivada, hallar la derivada de la función f(x) = ln x

IR A LA OBTENCIÓN DE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO NEPERIANO DE X, UTILIZANDO COMO EN LOS ANTERIORES ARTÍCULOS, LA DEFINICIÓN DE DERIVADA Y LOS INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES EN EL CÁLCULO DEL LÍMITE QUE RESULTA

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