FUNCIONES: ANÁLISIS PARA 1º BACHILLERATO

ANÁLISIS FUNCIONES MATEMÁTICAS BACHILLERATO

ANÁLISIS DE FUNCIONES PARA PRIMERO DE BACHILLERATO:

Este artículo debe ser considerado el artículo matriz para este contenido de funciones de 1º de bachillerato.

CONOCIMIENTO DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:

En este nivel es necesario el conocimiento de las «siluetas» y características más significativas de los distintos tipos de funciones. Ello nos ayudará entre otras cuestiones a realizar un boceto, analizar el dominio o la obtención del límite.

EJERCICIO M1BE2151: 

Relacionar cada una de las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica:

EJERCICIO M1BE2151 FUNCIONES ELEMENTALES ok

FUNCIONES PERIÓDICAS:

No podemos dejar atrás a las funciones trigonométricas, por su importancia en física en los movimientos armónicos y en general en los movimientos ondulatorios.

EJERCICIO M1BE2152:

Identificar en la imagen siguiente las funciones seno, coseno y tangente, notando con lo que sabemos de los valores de las razones trigonométricas, los valores de las tres funciones para 0º, 90º, 180º, 270º, 360º. Hacer comentarios acerca de la continuidad de cada una de las funciones y de la periodicidad:

MUY RECOMENDABLE EL ACCESO AL SIGUIENTE MATERIAL:

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO. COMO LA VIDA MISMA

DOMINIOS DE FUNCIONES:

EJERCICICIO M1BE2153:

Estudiar el dominio de las siguientes funciones:

EJERCICIO M1BE2154:

Estudiar el dominio de las siguientes funciones:

EJERCICIO M2BE2012:

Estudiar el dominio de las siguientes funciones,

VÍDEO QUE RESUELVE EL ÚLTIMO DOMINIO: https://youtu.be/cC5UsrLQb0g

EJERCICIO M1BE2174:

Calcula el dominio de las siguientes funciones de forma argumentada:

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FUNCIONES A TROZOS:

No todos los comportamientos que se describen mediante funciones se mantienen estables durante todo el rango del estudio. Si estudiamos el crecimiento de una población de bacterias a lo largo del tiempo, podemos imaginar que al principio el crecimiento será exponencial, como consecuencia de la mitosis. Posteriormente tenderá a estabilizarse debido a la disminución del alimento y a largo plazo puede incluso decaer la población como consecuencia de la eliminación del alimento del medio e incluso por causa de las propias excreciones de las bacterias. Cuando un comportamiento (biológico, social, económico…) tiene tendencias diferentes en distintos momentos, para estudiar esa realidad necesitamos funciones a trozos.

EJERCICIO M1BE2155: de la introducción a la continuidad de funciones.

Representar la siguiente función a trozos f(x):

Haciendo los cálculos necesarios, prestando especial atención a los puntos de corte con los ejes, obteniendo vértices en caso de parábolas e indicando la continuidad de la función.

EJERCICIO M1BE2156: de la introducción del concepto de límite.

Para la siguiente función, que debe representarse:

Responder de manera razonada e intuitivamente y a la vista de la representación a las siguientes cuestiones:

a.- ¿A qué valor tiende la función cuando la x tiende a infinito?*

b.- ¿A qué valor tiende la función cuando la x tiende a menos infinito?*

*En matemáticas, a eso se le llama límite de la función

c.- ¿Cuál es el límite de la función cuando x tiende a cero?.

d.- ¿Cuál es el límite de la función cuando x tiende a -2?

e.- ¿Cuál es el límite de la función cuando x tiende a 1?

f.- ¿En algún caso coincide el límite con el valor de la función en el punto? (indicarlo).

g.- ¿En qué puntos dirías que la función «no tiene límite»?

EJERCICIO M1BE2157:

a.- Representar la siguiente función:

b.- Hallar los siguientes límites, contrastando los resultados obtenidos analíticamente con la representación gráfica e indicando cuando sea necesario los límites laterales:

c.- Hallar: f(-1); f(0); f(1); f(2)

d.- Indicar la continuidad de la función f(x).

EJERCICIO M1BE2179: REPRESENTACIÓN EN GEOGEBRA DE UNA FUNCIÓN A TROZOS

Para la siguiente función, REALIZAR LA REPRESENTACIÓN EN GEOGEBRA:

VÍDEO CON LA FORMA DE HACERLO: https://youtu.be/rRlGc3nNeMU

ACCESO A OTROS TUTORIALES DE GEOGEBRA RELACIONADOS: UTILIZACIÓN DE GEOGEBRA EN MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES:

• DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
• CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN
• CONTINUIDAD DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

LÍMITES DE FUNCIONES:

LÍMITES PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO

EJERCICIOS M1BE2158:

EJERC CALCULO LIMITES 1BAC

EJERCICIO M1BE2175:

Calcular los siguientes límites de forma argumentada:

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EJERCICIO M1BE2172:

Para la siguiente función, f(x), definida a trozos del siguiente modo:

a.- Representarla con rigor y obteniendo los puntos significativos correspondientes.

ESTUDIO GRÁFICO:

b.- Con la representación, indicar la continuidad de la función.

c.- Con la representación indicar los siguientes límites:

c.1.- Límite cuando x tiende a 1, especificando los laterales.

c.2.- Límite cuando x tiende a cero.

c.3.- Límite cuando x tiende a infinito.

c.4.- Límite cuando x tiende a menos infinito.

d.-  A través de la representación indicar el valor de f(1)

ESTUDIO ANALÍTICO, que debe coincidir con lo obtenido gráficamente:

e.- Con la expresión analítica de la función y realizando los cálculos adecuados a través de la definición de continuidad de una función en un punto, indicar la continuidad de la función f(x).

f.- Con la expresión analítica de la función, hallar los siguientes límites:

f.1.- Límite cuando x tiende a 1, especificando los laterales.

f.2.- Límite cuando x tiende a cero.

f.3.- Límite cuando x tiende a infinito.

f.4.- Límite cuando x tiende a menos infinito.

g.-  A través de la expresión analítica indicar el valor de f(1)

EJERCICIO M1BE2176:

De la siguiente función a trozos f(x):

a) Representarla.

b) Indicar el dominio y el recorrido de la función.

c) Indicar la monotonía de la función.

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ASÍNTOTAS. APLICACIONES DE LOS LÍMITES:

ASÍNTOTAS VERTICALES:

La condición de presencia de una asíntota vertical en una función f(x):

Haremos este límite, y si el resultado es infinito, la función presenta una asíntota vertical de ecuación x=a.

Los posibles valores de a en los que debemos plantearnos la posibilidad de Asíntota Vertical son:

• • • Los valores que anulen el denominador en las funciones racionales, igualando el denominador a cero.
    • Cuando tenemos funciones logarítmicas del tipo log[f(x)], aquellos valores en los que f(x)=0, ya que el logaritmo de cero tiende a -∞
    • Cuando tenemos funciones del tipo tg[f(x)], aquellos valores en los que f(x)=π/2+kπ. Tengamos en cuenta que la tangente de 90º y 270º son ∞ y -∞ respectivamente.
  • El estudio completo consiste en calcular los límites por la derecha e izquierda del punto a, y fijarse en el signo del infinito que resulta, de tal manera que ésa será la tendencia a ambos lados de la asíntota vertical, lo cual además aporta muchísima información a la hora de representar la función.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES:

El estudio completo consiste en calcular el límite cuando x tiende a infinito y a menos infinito, ya que la asíntota puede ser diferente a cada lado e incluso no tener en uno de ellos. Esto último es sobre todo interesante en funciones con radicales, exponenciales y otras complicadas.

Además se suele calcular la POSICIÓN DE LA CURVA CON RESPECTO A LA ASÍNTOTA, dato que se obtiene calculando el signo de la diferencia entre la función y la asíntota, teniendo en cuenta que es un razonamiento para valores grandes de la variable con el signo que corresponda.

Si el signo de [f(x)-k] es positivo, es la curva la que está por encima de la asíntota, y si es negativo es la asíntota la que está por encima.

ASÍNTOTAS OBLICUAS:

f(x) presenta una asíntota oblicua de ecuación y=mx+n si tanto m como n tienen sentido (dan números finitos) calculados de la siguiente forma:

           

Como es posible que sean diferentes las asíntotas oblicuas hacia la derecha y hacia la izquierda hay que calcular estos límites cuando x tiende a infinito y cuando x tiende a menos infinito.

El estudio completo también requiere el conocimiento de la posición de la curva con respecto a la asíntota que se sabe calculando el signo de [f(x)-(mx+n)] para valores grandes de x (sustituyendo por ejemplo por x=1000); si da positivo, la función está por encima de la asíntota, si negativo, la función está por debajo.

Posiblemente pueda resultar interesante consultar el artículo RAMAS PARABÓLICAS.

Así como LA ASÍNTOTA HORIZONTAL ES UN CASO PARTICULAR DE OBLICUA, que concreta más acertadamente la expresión: «si una función tiene asíntota horizontal, no tiene oblicua.»

EJERCICIOS M1BE2178:

Realizar el estudio completo de las asíntotas de las siguientes funciones, realizando un boceto de las mismas utilizando la información obtenida e incluso alguna otra que se considere relevante (corte con los ejes, dominio…). Contrastar lo obtenido analíticamente con la representación gráfica, utilizando geogebra:

DERIVADAS Y APLICACIONES:

• Derivada: DEFINICIÓN DE DERIVADA
  
• INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
• Ejercicios Resueltos de OBTENCIÓN DE LA DERIVADA UTILIZANDO LA DEFINICIÓN

EJERCICIO M1BE2181:

Para la siguiente función: f(x) = x² – 2x – 3

a.- Hallar la derivada utilizando la definición.

a.1.- Intentar reconocer las rutinas iniciales o «trucos» para derivar polinomios.

b.- Con la derivada, hallar el vértice.

c.- Obtener los cortes.

d.- Reflexionar sobre la curvatura, comparándola con f(x) = -x² – 2x – 3

e.- Contrastarla con la representación gráfica.

EJERCICIO M1BE2182:

Para las siguientes funciones:

f(x) = x² – 6x + 8

g(x) = x³ – 3x²

h(x)= x³ – 6x

a.- Obtener la derivada utilizando la definición, intentando descubrir las rutinas o «trucos» de la operación.

UNA VEZ OBTENIDA LA DERIVADA:

Hacer una interpretación de la operación, que no es sino «variación*» (en mates «de y respecto de x» y en física lo más frecuente «de algo respecto del tiempo»), utilizando para obtener del MRUA y del MRU la velocidad a través de la ecuación del movimiento y la aceleración a través de la velocidad en los dos casos.

*variación=inclinación=pendiente de la recta tangente

CON LA DERIVADA Y LA REPRESENTACIÓN EN GEOGEBRA DE LA FUNCIÓN, PARA OBSERVAR EXTREMOS, MONOTONÍA Y CURVATURA, RELACIONÁNDOLOS CON LOS VALORES DE LA DERIVADA:

b.- Identificar los máximos o mínimos, ya que son los puntos en los que la derivada se anula (la recta tangente no tiene pendiente).

c.- Indentificar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (la monotonía), ya que cuando la derivada es positiva (recta tangente con pendiente hacia arriba) la función es creciente y cuando es negativa (recta tangente con pendiente hacia abajo) la función es decreciente.

d.- Derivando la derivada, intentar descubrir el signo de la segunda derivada que corresponde para cada curvatura característica (cóncavo-convexo), así como donde se presenta un punto de inflexión (ni cóncavo ni convexo).

AL TERMINAR LA CLASE Y EL EJERCICIO, HEMOS VISTO CON GEOGEBRA Y LAS DOS FUNCIONES:

• La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto.
• Por lo anterior, si una función es creciente en un punto, su derivada es positiva; y si es decreciente en ese punto, su derivada es negativa.
• En los máximos, ocurre que la función pasa de creciente a decreciente.
• En los mínimos la función pasa de decreciente a creciente.
• Para estudiar la monotonía se localiza el/los punto/s donde la derivada vale cero (máximo o mínimo), que delimita/n intervalos, donde se estudia el crecimiento y decrecimiento.
• Con respecto a la derivada de la derivada: si la segunda derivada es positiva, nos encontramos en tramos de curva convexa; si es negativa, tramos cóncavos. Si la segunda derivada es cero, tendremos un punto de inflexión, donde la función no es ni cóncava ni convexa, o lo que es lo mismo, pasa de cóncava a convexa o a la inversa.

EN RESUMEN:

Si en x_o la función tiene un MÁXIMO:

f´(x₀) = 0; f´´(x₀) < 0

Si en x₀ la función tiene un MÍNIMO:

f´(x₀)=0; f´´(x₀)<0

Si en x_o la función es CRECIENTE:

f´(x₀)>0

Si en x₀ la función es DECRECIENTE:

f´(x₀)<0

Si en x₀ la función es CÓNCAVA «∪»:

f´´(x₀)<0

Si en x₀ la función es CONVEXA  «∩»:

f´´(x₀)>0

Si en x₀ la función no es ni cóncava ni convexa (PUNTO DE INFLEXIÓN):

f´´(x₀)=0

EJERCICIO M1BE2183: (FUNCIÓN POLINÓMICA 2 JL)

Para la función: f(x) = x³ – 2x² – 9x + 18, hallar:

a.- Puntos de corte con los ejes.

b.- Extremos relativos.

c.- Puntos de inflexión.

d.- Indicar la monotonía.

e.- Indicar la curvatura.

f.- Representar la función, manualmente con lo obtenido y con geogebra, realizando el contraste.