INTEGRALES POTENCIAL CAMPOS CONSERVATIVOS
OBTENCIÓN MEDIANTE INTEGRALES DE LOS CONCEPTOS DE FÍSICA: ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Y ELECTROSTÁTICA, POTENCIAL GRAVITATORIO Y ELECTROSTÁTICO (F2BP408). CAMPOS CONSERVATIVOS:
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En ocasiones, el alumno de Física no dispone del conocimiento previo de la integración que debió adquirido en Matemáticas, lo que sigue son indicaciones para salvar este inconveniente que nos encontramos con frecuencia los profesores de Física:
INTRODUCCIÓN A INTEGRALES PARA FÍSICA DE CAMPOS:
La suma tiene la resta, el producto el cociente, la potenciación la radicación, los logaritmos los exponenciales…., pues LA DERIVADA TIENE LA INTEGRAL.
Según esto, si la derivada de x2 es 2x, la integral de 2x es x2. Matemáticamente se utiliza la siguiente simbología, en la que el símbolo de la integral es una S modificada que representa una “suma”. Se verá en niveles correspondientes que la integral se puede asociar a una suma de términos infinitamente pequeños.
Esto es una INTEGRAL INDEFINIDA y el término C, es una constante “de compromiso”, ya que la derivada de (x2 + cte) sigue siendo 2x; ya que la derivada de una constante suelta es cero.
El término dx (diferencial de x) para el caso que nos ocupa, de introducción a integrales aplicadas en física a los conceptos energía potencial y potencial, basta con saber que debe acompañar al integrando con la variable en la que está expresado.
Decimos que el resultado de la integral es una PRIMITIVA de la función que estamos integrando, ya que al derivarla obtenemos el integrando.
x2 es una primitiva de 2x
Por otro lado, del mismo modo que las constantes (números multiplicando o dividiendo) no se derivan (es como si no se derivaran –salen del proceso de derivación-), las constantes también salen del proceso de integración.
La derivada de 3x2 es 3 · 2x = 6x, notar que el 3 no lo hemos derivado, sólo el x2
Si nos encontramos, como es el caso, de OBTENCIÓN DE ENERGÍAS Y POTENCIALES GRAVITATORIOS Y ELECTROSTÁTICOS, con la integral, por ejemplo:
Las constantes G, M y m salen del proceso de integración, ya que ni la constante de gravitación universal G, ni las masas My m, dependen de la variable r (en este caso r es distancia).
Para obtener la integral:
Basta con saber esta derivada:
Si la derivada de (-1/r) es (1/r2), la integral de (1/r2) es (-1/r) + C
Evidentemente, también podemos obtener esta integral de manera mecánica, para este caso, según las TABLAS DE INTEGRALES:
Por otro lado, las integrales que nos encontramos en Física, normalmente y en este caso en concreto de obtención de energías potenciales y potenciales, son INTEGRALES DEFINIDAS, tienen límites de integración. Estas integrales se resuelven del siguiente modo:
Si la integral indefinida:
La integral definida se calcula del siguiente modo:
Sin tener en cuenta la constante C, que es la REGLA DE BARROW.
En nuestro caso en el que la integral indefinida:
La integral definida entre A y B
Como se puede ver es el resultado de la integral indefinida sustituido en B menos el resultado sustituido en A.
Por ello, en uno de los casos que nos ocupa, el de OBTENCIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:
Que es la manera en la que obtenemos la ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
En el caso de OBTENCIÓN DEL POTENCIAL GRAVITATORIO:
En el caso de OBTENCIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA:
En el caso de OBTENCIÓN DEL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO:
