PROBLEMAS OPTIMIZACIÓN APLICACIONES DERIVADA

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN: APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO. EJERCICIOS RESUELTOS:PROBLEMAS OPTIMIZACIÓN APLICACIONES DERIVADA

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FORMA PARTE DEL PROCESO DETERMINADO POR LAS PROPUESTAS DE PROGRAMACIONES DIDÁCTICAS:

INDICACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN:

    1. LEER TANTAS VECES EL EJERCICIO QUE CASI LO SEPAS DE MEMORIA!!!, ya que son en ocasiones difíciles de interpretar. Cuando el ejercicio de optimización consista en una situación relacionada con la geometría, dibujar la situación, poniendo nombre a cada uno de los elementos que intervienen en el ejercicio.
    2. Identificar la función objeto de máximo o mínimo (qué queremos que sea máximo o mínimo: superficie, volumen, distancia, tiempo….)
    3. Ponerla en función de una sola variable, utilizando los datos del problema. (ojo que a veces es mejor una variable que la otra a la hora de derivar)
    4. Una vez la función objeto de máximo o mínimo está en función de una sola variable, derivarla e igualarla a cero. Al resolver esta ecuación tenemos los posibles Máximos o mínimos.
    5. Confirmar el máximo o mínimo:

Si la segunda derivada es fácil de calcular, sustituir los posibles máximos o mínimos en la segunda derivada (Recordar que si al sustituir es negativa tenemos un Máximo y si positiva mínimo)

Si es complicado el cálculo de la segunda, utilizar la primera derivada, sustituyendo un punto por encima y otro por debajo del posible máximo o mínimo y recordar que antes de un máximo la función es creciente (1ª derivada positiva) y después decreciente (1ª derivada negativa). En un mínimo antes es exactamente lo contrario: decreciente primero y después creciente.

EJERCICIO M2BE3462: (EBAU CANARIAS JULIO 2018)

Tenemos que hacer dos cuadrados de tela y cada cuadrado con una tela diferente.

Las dos telas tienen precios de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado respectivamente.

¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser 100 cm?

IR A LA RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO: EJERCICIO RESUELTO M2BE3462, PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN. EBAU CANARIAS JULIO 2018

EJERCICIO M2BE2163, EBAU Canarias 2017:

Se quiere fabricar un smartphone con una pantalla LCD de 18 cm2. Los bordes superior e inferior han de tener 2 cm cada uno y los bordes laterales 1 cm. Calcular las dimensiones del teléfono para que la superficie del mismo sea mínima.

VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/Us6K799tABA

EJERCICIO M2BE2164:

Se quiere construir una ventana rectangular de 1 metro cuadrado de área. El coste del marco es de 12.5 euros por cada metro de altura y de 8 euros por cada metro de anchura. ¿Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible?

IR AL VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/ZOYcoL5CytU

EJERCICIO M2BE2099:

Se tiene un alambre de 1 metro de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/90cVkMM1tXY

EJERCICIO M1BE3734:

Se quiere vallar una finca rectangular que tenga una superficie de 400 m2. El precio del metro de valla es de 25 euros y uno de sus lados, al lado de un camino, necesita una valla más cara con un precio de de 35 euros el metro. ¿Qué dimensiones de la finca implicará el coste más bajo?

IR AL ARTÍCULO CON LA RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO: EXAMEN FINAL RESUELTO DE ANÁLISIS DE FUNCIONES PARA MATEMÁTICAS I DE 1º DE BACHILLERATO. PRUEBA 3 DEL TERCER TRIMESTRE

EJERCICIO M2BE2239: EBAU CANARIAS JUNIO 2013

La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo. El perímetro del rectángulo es de 100 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máxima.

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EJERCICIO M2BE2100:

Dividir un segmento de 6 cm de longitud en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máxima.

VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/UZpwBucitbk

EJERCICIO M2BE1955:

En una circunferencia de 20 cm de diámetro deseamos inscribir un rectángulo. Hallar las dimensiones del que tenga el área mayor. Razonar el proceso seguido, utilizando las herramientas matemáticas apropiadas que no dejen lugar a duda del resultado obtenido.

VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/P4d3rc87yUA

EJERCICIO M2BE1957:

Un nadador se encuentra en la playa de Las Canteras,  a 700 m de la orilla, justo enfrente de la torre de la Cruz Roja. Desea ir a un punto situado a 1400 m de la torre, donde dejó a su pareja. Como observa que su pareja lo está llamando para comer, quiere llegar a la misma lo antes posible. El nadador sabe que nada a 2.5 km/h y que corre a 3 km/h. Indicar al nadador a qué punto entre la torre de la Cruz Roja y su toalla debe dirigirse, si quiere llegar en el menor tiempo posible, no sea que su pareja se acabe la ensaladilla rusa.

VÍDEO DONDE SE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/55T1kumaCJY

EJERCICIO M2BE2221:

Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que la longitud de uno de los trozos sea el doble de la longitud de otro y tal que, al construir con cada uno de los tres trozos de hilo un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.

IR AL ARTÍCULO CON LA SOLUCIÓN PASO A PASO DEL EJERCICIO: EXAMEN FINAL GLOBAL MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO

EJERCICIO M2BE1998 B:

Dividir un segmento de 6 cm de longitud en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máxima.

VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/UZpwBucitbk

EJERCICIO M2BE2162:

Se quiere construir una ventana rectangular de 2 metros cuadrados de área.  El coste del marco es de 15 euros por cada metro de altura y de 10 euros por cada metro de anchura.  ¿Qué dimensiones debe tener la ventana para que el marco resulte lo más económico posible?

IR AL ARTÍCULO CON LA RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO: EXAMEN GEOMETRÍA, ÁLGEBRA, ANÁLISIS PARA MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO

EJERCICIO M2BE2213:

El propietario de una empresa ha estimado que si compra «x» máquinas y contrata «y» empleados, el número de unidades de producto que podría fabricar vendría dado por la función  f(x, y) = 9xy2. Sabiendo que tiene un presupuesto de 22500 €, que cada máquina supone una inversión de 2500 € y cada contrato de un nuevo empleado 1 500 €, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para optimizar la producción.

IR A LA RESOLUCIÓN PASO A PASO DEL EJERCICIO QUE ESTÁ INCLUÍDO EN UNA PRUEBA DE EXAMEN GLOBAL PARA MATEMÁTICAS II DE 2º DE BACHILLERATO: EXAMEN GLOBAL MATEMÁTICAS II 2º BACHILLERATO. GEOMETRÍA, ÁLGEBRA DE MATRICES, PROBABILIDAD, ANÁLISIS (OPTIMIZACIÓN)

EJERCICIO M2BE2223:

Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie interior posible.

¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero?

IR A LA RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO: PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN RESUELTO, PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO. POSTES Y LARGUERO.

EJERCICIO M2BE2272 EBAU CANARIAS JUNIO 2023:

Se quiere construir una Casa de la Juventud de 240 m2 de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.

Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada?.

IR AL ARTÍCULO CON LA RESOLUCIÓN PASO A PASO DE ESTE PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN: MATEMÁTICAS II. E.B.AU. CANARIAS 2023. EJERCICIOS RESUELTOS. CONVOCATORIA ORDINARIA JUNIO

EJERCICIO M2BE2287:

Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 m de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 m sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta.

Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

IR A LA RESOLUCIÓN PASO A PASO DE ESTE EJERCICIO DE OPTIMIZACIÓN

EJERCICIO M1BE3712:

Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.

EJERCICIO M1BE3713:

Calcula dos números positivos de modo que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea máxima.

EJERCICIO M1BE3714:

Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además afirma que el nivel de seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto del número de alarmas de tipo A instaladas por el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su nivel de seguridad?.

EJERCICIO M1BE3715:

Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar obreros y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra “máquinas y contrata “y” obreros, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función: y=90·x·y2 . Cada máquina le supone una inversión de 2500 € y cada contrato de un nuevo obrero le cuesta 1500 €. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 22500 € para este fin, determina el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción.

EJERCICIO M1BE3716:

Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible?.

EJERCICIO M1BE3717:

Queremos vallar un terreno de forma rectangular que tenga una superficie de 200 metros cuadrados. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros y uno de sus lados, a lo largo del río, requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el coste más bajo? .

EJERCICIO M1BE3718:

Una bióloga marina sabe que los ingresos por venta de ejemplares de lubina en una planta de cultivo de peces es  I(q)= 2000 q – 0,04 q2 y los costes de alimentación vienen dados por la función C(q)= 1.000.000 + 100 q + 0,001 q2,  donde q = nº unidades de lubina.

Halla: a) La función beneficio. b) ¿Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo?

EJERCICIO M1BE3719:

Una tienda vende aceite a 2,10 € el litro. Los costes de producción son de 30 céntimos de euro el litro y los de transporte son la centésima parte del cubo del número de litros vendidos. Halla cuántos litros deben venderse para obtener una ganancia máxima.

EJERCICIO M1BE3720:

De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 15 cm., halla las dimensiones del que tiene área máxima.

EJERCICIO M1BE3721:

Unos altos hornos producen al día x toneladas de acero de baja calidad y  (40-5x)/(10-x)  toneladas de acero de alta calidad, siendo 8 toneladas la producción máxima diaria de acero de baja calidad.

Si el precio de una tonelada de acero de baja calidad es 100 euros y el precio de una tonelada de acero de alta calidad es 250 euros , demostrar que se deben producir 5 toneladas por día de acero de baja calidad para que el valor de venta de la producción diaria sea máxima.

EJERCICIO M1BE3722:

Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 10 cm.

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