EJERCICIO RESUELTO DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

FÍSICA 2º BACHILLERATO RADIACTIVIDAD

EJERCICIO RESUELTO DE DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA PARA FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO. GRÁFICA ACTIVIDAD FRENTE A NÚMERO DE ÁTOMOS DEL ISÓTOPO RADIACTIVO:

PUEDE INTERESAR LA CONSULTA DE LOS SIGUIENTES ARTÍCULOS RELACIONADOS:

ESTE MATERIAL SIGUE EL PROCESO DETERMINADO POR: FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO: DESARROLLO DE LA ASIGNATURA

EJERCICIO F2BE3048:

La gráfica siguiente expone la actividad de una muestra de Sopladerio (isótopo radiactivo) en función del número de átomos que contiene. La actividad aparece en Bq y el número de átomos N (10⁹ átomos). Se pide, haciendo referencia y explicando las magnitudes que se consideran y las leyes que se utilizan:

a.- La constante de semidesintegración del isótopo.

b.- La expresión de la Ley de desintegración radiactiva para el átomo radiactivo, que no es sino la función matemática de la gráfica, indicando la pendiente de la recta y con qué magnitud física coincide.

c.- El periodo de semidesintegración del Sopladerio, en años.

d.- La vida media del isótopo.

e.- La expresión de la Ley integrada de desintegración radiactiva para el Sopladerio.

f.- Representar la variación del número de átomos del isótopo radiactivo en la muestra con el tiempo.

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:

La actividad en el eje OY, se ha considerado en Bq, que son desintegraciones por segundo.
El número de átomos está considerado por el factor N·10⁹ átomos.
La Ley de desintegración radiactiva es A = λ · N , donde:

Siendo A el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo y λ, es la constante de proporcionalidad, que representa la probabilidad de desintegración de un núclido por unidad de tiempo, se mide en s^-1 en el S.I.

a.- CONSTANTE DE DESINTEGRACIÓN DEL ISÓTOPO (λ):

Debemos notar que según la Ley de desintegración radiactiva, A = λ · N , la representación de la actividad frente al número de isótopos debe dar una recta, es una función de primer grado, donde además no existe la ordenada en el origen (cuando no hay núcleos, no hay desintegración).
Esa función, esa recta es creciente, ya que la actividad aumenta cuando se incrementa el número de átomos: a mayor número de átomos, mayor actividad.

Para la obtención de λ (constante de desintegración), bastará con obtener la expresión de la recta:

Tomamos algún punto de referencia, notando que esté bien definido:

Cuando: N=100·10⁹ ⇒ A=40 Bq.

b.- EXPRESIÓN DE LA LEY DE DESINTEGRACIÓN:

A = λ · N ⇒ A = 4·10^-10 · N

c.- PERIODO DE SEMIDESINTEGRACIÓN (T_1/2):

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tiene que pasar para que se desintegre la mitad de una muestra de un isótopo radiactivo.

d.- VIDA MEDIA DEL ISÓTOPO (τ):

Que en años:

Prácticamente lo mismo que si partimos del periodo de desintegración en años:

Que es el tiempo que dura un núcleo radiactivo por término medio.

e.- EXPRESIÓN DE LA LEY INTEGRADA DE DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA:

En este caso, y teniendo en cuenta que desconocemos el número de núcleos iniciales (N₀):

Donde λ está en s^-1.

Si la indicamos en años^-1.

O de este otro modo, utilizando el periodo de semidesintegración en años:

Quedaría, que la expresión de la Ley:

f.- REPRESENTACIÓN DEL MODO EN QUE VARÍA EL NÚMERO DE ÁTOMOS DEL ISÓTOPO CON EL TIEMPO (representación de la Ley integrada de desintegración radiactiva):

Representar la ecuación anterior, N = N₀ · e ^-0,013t , que es una exponencial, de exponente negativo, con la silueta típica de f(x) = e ^-x , que es decreciente, ya que el número de isótopos radiactivos disminuye con el tiempo, al irse desintegrando.

Con las siguientes aclaraciones:

Como no tenemos, al menos en este caso el dato del número de átomos iniciales, podemos utilizar un N₀=100, a modo de referencia cómoda.
Teniendo la inquietud de señalar o marcar a partir de ese punto de átomos iniciales en el tiempo igual a cero, al menos dos puntos significativos:
El correspondiente al periodo de semidesintegración, en el que el número de átomos se ha reducido a la mitad, esto es a 50, y otro, en el que se ha vuelto a reducir a la mitad (25 átomos), cuando vuelva a pasar ese mismo tiempo.
Teniendo en cuenta que la función tiende a cero, el número de átomos tiende a cero, cuando el tiempo se hace infinito, siendo el eje OX una asíntota horizontal para esta función exponencial.

Notar como hemos marcado esos puntos para su confirmación en la gráfica, que hemos representado con geogebra, aunque con estas indicaciones, manualmente se puede realizar un boceto más que apropiado.