EJERCICIOS RESUELTOS ANÁLISIS CONTEXTUALIZADOS
EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE FUNCIONES CONTEXTUALIZADOS PARA MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO:
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EJERCICIO M2BE3227 (PAU 2025 Convocatoria Extraordinaria-Julio Canarias):
El modelo logístico es un modelo matemático utilizado para describir la evolución de una población a lo largo del tiempo, cuando los recursos son limitados. Es uno de los modelos matemáticos más comunes en biología y describe cómo la población se estabiliza cuando alcanza la capacidad de carga del entorno, esto es, el tamaño máximo que puede alcanzar una población antes de que los recursos se vuelvan insuficientes, lo que genera competencia y, en muchos casos, una desaceleración de la tasa de crecimiento o una crisis en la población.
Un ejemplo de modelo logístico lo encontramos en las colonias de hormigas, que están compuestas por una red de túneles, entradas, cámaras de cría y áreas de almacenamiento, donde las hormigas establecen su hábitat.
Un grupo de investigadores ha estudiado el momento en el que unas hormigas forman una nueva colonia y ha modelizado el número de hormigas (H(t)) después de t meses con la función:
a) ¿Cuántas hormigas formaron la nueva colonia inicialmente?
b) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento el primer año? ¿Y el segundo año? Interpretar el resultado.
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c) Un observador afirma que el modelo siempre es creciente y entiende que la población de hormigas crece sin control. Justificar matemáticamente si esta afirmación es o no correcta.
d) ¿En qué momento la colonia de hormigas alcanzará la mitad de su capacidad de carga?
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EJERCICIO M2BE3220 (PAU 2025 Convocatoria Ordinaria-Junio Canarias):
En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como f(x) (medida en miligramos por litro, mg/L), depende del tiempo transcurrido x (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas:
- Fase de absorción: En las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo.
- Fase de eliminación: A partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse.
Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática:
El equipo de investigación necesita aclarar algunas dudas del modelo matemático:
a) Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.
b) La concentración residual varía con el tiempo, comprobar que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que -0.5 (mg/L)/h.
c) ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima у calcular el valor de dicha concentración.
d) Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento?
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EJERCICIO M2BECCSS3475:
Durante los últimos 10 años, los costos en comunicaciones de una empresa, en decenas de miles de euros, vienen dados por la función:
siendo 𝑡 el tiempo en años. Justificando la respuesta:
a) ¿Es continua 𝐶(𝑡)?
b) ¿Cuándo 𝐶(𝑡) es derivable? ¿Cuándo creció y cuándo decreció 𝐶(𝑡)?
c) ¿Cuándo alcanzó 𝐶(𝑡) el máximo y el mínimo absolutos? ¿Cuáles fueron los valores máximos y mínimos absolutos?
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