INTEGRALES Y DERIVADAS. PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS

INTEGRALES DERIVADAS PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS

ANÁLISIS FUNCIONES MATEMÁTICAS BACHILLERATO

INTEGRALES Y DERIVADAS, PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS:

PUEDE INTERESAR LA CONSULTA DEL SIGUIENTE ARTÍCULO RELACIONADO: LA DERIVADA ES VARIACIÓN Y LA INTEGRAL ES SU OPERACIÓN INVERSA

EJERCICIO M1BE2205:

Se estima que en Pandora la población de sopladerus, como consecuencia de la actuación de los terrestres, varía según la expresión -40/(t+2)² que nos indica la variación de la población en función del tiempo en miles de especímenes por mes, siendo el origen de tiempos el momento en que se consolidó la colonia de terrestres.

a.- ¿La población aumenta a lo largo del tiempo o disminuye?.

b.- Obtener la expresión de la función que determina la población de sopladerus, en función de los meses transcurridos, si se sabe que cuando se consolidó la colonia existían 30000 especímenes.

c.- Indicar a la vista de lo obtenido si la especie objeto de estudio se extinguirá en algún momento, o por el contrario se estabilizará.

d.- En caso de que se estabilice indicar el número de especímenes en el que la población, con este modelo se estabilizará.

e.- En caso de que se extinga la especie intentar una aproximación al momento en que se produce, estimándolo con una diferencia máxima permitida de 3 meses.

f.- Hallar la población total de sopladerus en los 5 primeros meses.

EJERCICIO M2BE2206:

En un plato Petri, se está probando una nueva gelatina de cultivo para un tipo especial de bacilococo. Se estima, aunque pendiente de comprobación que el número de las bacterias (en miles) sigue el modelo exponencial-logístico, en función del tiempo en horas, descrito por b(t)=6·e^t/(50+e^t).

a.- Hallar el número de bacterias que había al inicio del experimento.

b.- Hallar el número de bacterias que a la larga se alcanza cuando se consiga la estabilización de la población en el cultivo.

c.- Hallar el número total de bacterias existentes entre los tiempos t=0 y t=5, es decir la población total en ese intervalo de tiempo.

ACLARACIONES PARA ESTE APARTADO:

La integral nos calcula áreas encerradas como la que se muestra, haciendo un barrido en el intervalo considerado, en nuestro caso de cero a cinco horas, contando todas las bacterias que existen o existieron en ese intervalo de tiempo.

Por ello, esta respuesta coincide con la integral definida entre 0 y 5 de la función b(t):

Comprobar que «más o menos» coincide con la suma de las áreas de los rectángulos azules dibujados (a falta de los trozos que faltan). La integral es más exacta que nosotros, que hemos elegido rectángulos de base igual a 1 hora, ya que la integral definida es como si hiciera rectángulos de base infinitesimal (de base dt), esto es, de base infinitamente pequeñas, con lo que no deja ningún huequito sin contar. La integral suma todos esos rectángulos desde el límite inferior al límite superior.

De hecho, en su origen, por eso de que la integral es una suma, el símbolo para la integral definida era el del sumatorio «Σ», que con el tiempo se ha ido modificando al actual «∫», que no deja de ser una «S».

CON RESPECTO A LA REPRESENTACIÓN QUE SE MUESTRA:

Corresponde a un modelo de crecimiento esperado y habitual en bacterias y poblaciones específicas (modelo logístico), mientras se cumplan una serie de condiciones. Notar como tiene una zona de crecimiento importante y termina estabilizándose.

EJERCICIO M2BE2072:

La finca de la familia Sarandonga está delimitada por la función f(x)=x³+x²-2x  y el eje OX, o el eje X, o el eje de abscisas, o como tú quieras designarlo. La finca está dividida en dos partes, ya que el río Arzúa, que pasa exactamente por el eje Y, hace una división natural de la misma.  La parte izquierda del río la va a heredar Alberto y la parte derecha JL, dos hermanos de distinto padre y madre que no se llevan muy bien que digamos.  Haz un esbozo de la finca. ¿Qué porcentaje de la finca heredó cada uno de los hermanos?

VÍDEO QUE RESUELVE EL EJERCICIO: https://youtu.be/JtbE5rsDeS4

ESTE EJERCICIO FORMA PARTE DE UN EXAMEN DE MATEMÁTICAS DE 2º DE BACHILLERATO QUE INCLUYE TODOS LOS CONTENIDOS. PARA SU CONSULTA SI SE DESEA: https://achimagec.com/examen-matematicas-2o-bachillerato-ciencias/

EJERCICIO M2BE2192:

La finca Los Naranjos, está delimitada por las funciones  f(x) = x³ – 6x² + 9x  y  g(x) = 4x. Los Naranjos tiene dos regiones, la región 1 (a la izquierda) y la región 2 (a la derecha).  La región 1 es urbanizable, con un valor de 8000 euros el metro cuadrado, y la región 2 es rústica, por lo tanto, el valor del metro cuadrado es mucho menor, exactamente 187.5 euros el metro cuadrado.  Si las regiones se venden independientemente, ¿Qué región aconsejarías que se comprara? ¿Por qué? Dibuja la finca Los Naranjos.

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EJERCICIO M2BE2278:

Un agricultor llamado OMAR, se compró un terreno rústico en Santa Brígida. El terreno, está limitado por las funciones:

f(x) = x² – 4x + 4   y   g(x) = – x² + 4

Suponemos que el gráfico está en metros.

a.- Realiza un gráfico del terreno que adquirió Omar.

b.- Calcula el precio del terreno, si cada metro cuadrado en Santa Brígida tiene un valor aproximado de 18500 euros. Alberto dice que costó menos de 48000 euros ¿está en lo cierto?.

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EJERCICIO M2BE2208:

La velocidad de cierta partícula que lleva un movimiento rectilíneo horizontal, en función del tiempo responde a la ecuación v(t) = 15/(t+1)  (m/s).

El sistema de referencia se ha elegido de forma que en el origen de los tiempos la posición x es de -3 m. Se pide:

a.- ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, es decir, con aceleración constante?

b.- ¿Es un movimiento acelerado propiamente dicho o por el contrario es retardado?

c.- Obtener la ecuación del movimiento (ecuación de la posición en función del tiempo).

d.- Indicar el instante de tiempo en el que la partícula pasa por el origen del sistema de referencia.

e.- La aceleración en el instante de tiempo t=4 segundos.

IR A LA RESOLUCIÓN PASO A PASO DEL EJERCICIO, DONDE SE UTILIZA ESTE MOVIMIENTO VARIADO COMO CONTEXTUALIZACIÓN DEL USO DE INTEGRALES Y DERIVADAS: ANÁLISIS EN PROFUNDIDAD DE UN MOVIMIENTO VARIADO COMO APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS E INTEGRALES EN FÍSICA. PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS.

EJERCICIO M2BE2215, DE CONTEXTUALIZACIÓN DE DERIVADAS E INTEGRALES A TRAVÉS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

El sonido es un movimiento ondulatorio que necesita un medio material para propagarse; de hecho, no se propaga en el vacío. El motivo de lo anterior es que cuando el sonido se genera en la fuente (las cuerdas vocales por ejemplo) las partículas del medio vibran en la misma dirección que la de propagación del sonido en un movimiento de vaivén que se transmite de una partícula a la siguiente, hasta que al final llega al receptor (el oído por ejemplo) que capta la vibración. Este movimiento de vaivén, de cada una de las partículas alcanzadas por la onda se describe mediante el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.).

Notar como cada partícula alcanzada por la perturbación generada vibra como si de un péndulo se tratase, alcanzando dos posiciones extremas en torno a la posición de equilibrio.

Un determinado sonido se propaga en una dirección horizontal, de tal manera que las partículas del medio vibran horizontalmente en torno a su posición de equilibrio con una velocidad de vibración descrita por la ecuación  v(t)= 0,003·π·cos (πt)  [m/s].

a.- Para una determinada partícula alcanzada por la perturbación anterior, tomando el origen de tiempos (t=0) cuando la partícula se encuentra en su posición de equilibrio (x=0). Hallar la ecuación del movimiento x(t).

b.- Sabiendo que se denomina amplitud a la máxima deformación que presenta la partícula que vibra, hallar la amplitud del movimiento de la partícula que lleva este M.A.S.

c.- Hallar la expresión de la aceleración en función del tiempo.

d.- Expresar la aceleración en función del tiempo a(t) en función de la posición x(t).

e.- A la vista de las expresiones cinemáticas x(t), v(t) y a(t), indicar para cada una de ellas dónde se anulan y dónde alcanzan su valor máximo e indicarlo.

EJEMPLO DE USO DE LAS SUCESIVAS DERIVADAS EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

CUANDO TOMAMOS LA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y LA DERIVAMOS PODREMOS OBTENER LA EXPRESIÓN DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. OBTENDREMOS POR LO TANTO LAS ECUACIONES CINEMÁTICAS DEL M.A.S.:

https://youtu.be/40cmSzalyQM