PREPARACIÓN PAU GRAVITACIÓN UNIVERSO
CAMPO GRAVITATORIO FÍSICA BACHILLERATO
EJERCICIO RESUELTO PREPARACIÓN P.A.U., COMPLETO DE GRAVITACIÓN EN EL UNIVERSO, CAMPO GRAVITATORIO PARA FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO:
SIGUE LA DINÁMICA DETERMINADA POR: FÍSICA DE 2º DE BACHILLERATO: DESARROLLO DE LA ASIGNATURA
INTERESA LA CONSULTA DEL SIGUIENTE ARTÍCULO:
EJERCICIO F2BE3168:
a.- Velocidad orbital. Qué es y obtener su expresión haciendo los comentarios y aproximaciones pertinentes.
b.- Enunciar y formular la Ley de Gravitación Universal, obteniendo las unidades de la constante gravitatoria a la que hace referencia en unidades del S.I.
c.- Determinar la velocidad con la que hay que lanzar el satélite artificial Sopladera 2B de masa ms desde la superficie de la Tierra para dejarlo en una órbita circular a una altura de 14000 km.
d.- Determinar la velocidad con la que hay que lanzar el satélite artificial Sopladera 2B, desde la superficie de la Tierra para dejarlo orbitando en una órbita circular a una altura de 14000 km.
e.- Hallar la energía que hay que comunicarle al satélite Sopladera 2B, para que pase de la órbita de h1=14000 km de altura a otra situada a h2=20000 km de altura. (pase de orbitar en h1 a orbitar en h2)
e2.- ¿Qué pasaría si en vez de pasar de la órbita h1 a h2, deseamos que pase de la órbita h2 a h1?
f.- Hallar la pérdida de energía del satélite Sopladera 2B si después de tres años de funcionamiento ha pasado de orbitar en h2 a orbitar en otra situada a 12000 km de la Tierra.
g.- Velocidad de escape. Qué es y obtener su expresión haciendo los comentarios y aproximaciones pertinentes.
h.- Hallar la velocidad de escape del satélite Sopladera 2B desde la superficie de la Tierra.
i.- Hallar la energía que hay que comunicar al satélite Sopladera 2B, para que escape de la órbita h2.
j.- Tercera Ley de Kepler. Obtenerla haciendo los razonamientos oportunos.
k.- Hallar el periodo del satélite Sopladera 2B en la órbita h1.
l.- El satélite Sopladera 2B, por un fallo en los motores y por la orientación de los mismos, se detiene en la órbita h1. Hallar la velocidad con la que impacta con la Tierra, suponiendo despreciables los rozamientos con la atmósfera (lo cual es mucho suponer, lo sabemos).
m.- Dibujar y obtener el valor de la aceleración del satélite Sopladera 2B en la órbita h1.
n.- Dibujar y obtener el valor del campo gravitatorio que afecta al satélite Sopladera 2B en la órbita h1.
Datos: G=6,67·10-11 u.S.I.; MTierra=5,97·1024 kg; RTierra=6370 km; ms= 750 kg
LOS DIFERENTES APARTADOS Y SUS SOLUCIONES O INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN:
a.- Velocidad orbital. Qué es y obtener su expresión haciendo los comentarios y aproximaciones pertinentes.
La velocidad que se tiene que llevar en una órbita, para mantenerse orbitando, tiene que ser tangente a la trayectoria supuesta circular. Aplicando la 2ª Ley de Newton al movimiento del satélite, supuesto circular y uniforme (sólo tiene aceleración normal).
b.- Enunciar y formular la Ley de Gravitación Universal, obteniendo las unidades de la constante gravitatoria a la que hace referencia en unidades del S.I.
Debida a Newton, nos indica que la fuerza de ATRACCIÓN entre dos masas es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a cuadrado de la distancia que las separa. La línea de acción de la fuerza es la recta que une las masas. La expresión de esta Ley:
Donde G es la Constante de Gravitación Universal (mismo valor en cualquier medio que nos encontremos), que es la constante de proporcionalidad.
Notar las similitudes con la Ley de Coulomb en la expresión, del mismo modo que debemos reconocer el pequeñísimo valor de la constante frente al valor de la constante eléctrica K, que en el vacío es K=9·109 Nm2/C2 , elevadísima en comparación con G.
La expresión vectorial de esta Ley:
Donde el vector F12 indica la fuerza que la masa 1 hace sobre la masa 2 (estando aplicada en la masa 2) y el vector r12 es el vector que sale de la masa 1 y termina en la masa 2, siendo r12 su módulo; el vector ur12 es el vector unitario en la dirección y sentido del vector r12. La expresión vectorial funciona en un sistema de referencia y mantiene los sentidos apropiados, teniendo en cuenta que el signo «-» en la expresión es consecuencia de que el comportamiento gravitatorio es siempre atractivo.
F12 y F21 tienen el mismo valor en módulo y sentidos contrarios (vectores con distinto signo), ya que es la misma fuerza la que la masa 1 hace sobre la masa 2, que la que la masa 2 hace sobre la masa 1, tal y como se puede deducir de la expresión de la Ley de Gravitación Universal.
c.- Determinar la velocidad con la que hay que lanzar el satélite artificial Sopladera 2B de masa ms desde la superficie de la Tierra para dejarlo en una órbita circular a una altura de 14000 km.
Es la energía que se necesita transmitir al satélite para ponerlo en órbita. Se determina aplicando el principio de conservación de la energía mecánica comparando la posición inicial sobre la superficie de la Tierra(RT), otro planeta o cualquier posición inicial y la posición final a la altura de la órbita. Teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo y considerando despreciables los posibles rozamientos con la atmósfera (por ejemplo):
Si el satélite parte de la superficie de la Tierra (por ejemplo), ya tiene una cierta Ep. Se trataría de obtener la energía cinética del lanzamiento. Con esta expresión podemos calcular además la velocidad del lanzamiento necesaria.
d.- Determinar la velocidad con la que hay que lanzar el satélite artificial Sopladera 2B, desde la superficie de la Tierra para dejarlo orbitando en una órbita circular a una altura de 14000 km.
Al ser el campo gravitatorio un campo conservativo, la energía que tendrá el satélite en su órbita viene dada por la expresión de la energía mecánica (suma de las energías cinética y potencial).
Si ponemos el resultado de la VELOCIDAD ORBITAL, en la expresión de la energía cinética, puesto que el satélite está en órbita, obtenemos para la energía mecánica:
Que podemos notar que coincide con la mitad de la energía potencial, para un satélite que se mantiene en órbita.
e.- Hallar la energía que hay que comunicarle al satélite Sopladera 2B, para que pase de la órbita de h1=14000 km de altura a otra situada a h2=20000 km de altura. (pase de orbitar en h1 a orbitar en h2)
La energía que tenemos que comunicar a un satélite para que pase de una órbita 1 a otra órbita 2, será la diferencia de las energías que tiene (o tendrá) en cada una de las órbitas.
Si queremos que pase de la órbita 1 a la órbita 2:
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- Notar que la energía es la energía mecánica en la órbita, desarrollado en el apartado anterior de la VELOCIDAD ORBITAL.
- Si la variación de energía es positiva, hay que comunicarle energía al satélite para que cambie de órbita, que es lo que hay que hacer si queremos una órbita más alejada (de la Tierra por ejemplo).
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e2.- ¿Qué pasaría si en vez de pasar de la órbita h1 a h2, deseamos que pase de la órbita h2 a h1?
f.- Hallar la pérdida de energía del satélite Sopladera 2B si después de tres años de funcionamiento ha pasado de orbitar en h2 a orbitar en otra situada a 12000 km de la Tierra.
g.- Velocidad de escape. Qué es y obtener su expresión haciendo los comentarios y aproximaciones pertinentes.
Para que un satélite escape del campo gravitatorio en la posición en la que se encuentra su energía mecánica tiene que igual a cero (o mayor que cero). Considerado de otra forma: su energía cinética tiene que compensar la energía potencial que posee (que es reflejo de la atracción gravitatoria que sufre el satélite en esa posición).
La velocidad de escape sería la mínima velocidad que se debe suministrar a un cuerpo para que escape definitivamente de un cuerpo celeste (planeta, satélite…), poniéndolo a una distancia infinita del que se pretende escapar. Si suponemos que no hay rozamiento, aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica entre el cuerpo y el infinito, teniendo en cuenta que la energía mecánica en el infinito sería cero:
EA = E∞
(Ec + Ep)A = (Ec + Ep)∞
(Ec + Ep)A = 0
h.- Hallar la velocidad de escape del satélite Sopladera 2B desde la superficie de la Tierra.
i.- Hallar la energía que hay que comunicar al satélite Sopladera 2B, para que escape de la órbita h2.
Al igual que con la velocidad de escape, un satélite orbitando escapará de la atracción gravitatoria cuando le comuniquemos una energía que cumpla:
Eórbita + Ecomunicamos = 0
La energía en la órbita, corresponde a la energía mecánica y la que tendremos que comunicar debe compensar la anterior. Al poner igual a cero, vamos a obtener la energía mínima para que escape.
j.- Tercera Ley de Kepler. Obtenerla haciendo los razonamientos oportunos.
Cualquier astro que orbite alrededor de otro (como cualquiera de los planetas del Sistema Solar alrededor del Sol), incluso satélites naturales o no que orbiten alrededor de un planeta, si suponemos que la única fuerza presente es la fuerza gravitatoria y que el movimiento que se produce es circular y uniforme, se cumple, utilizando la 2ª Ley de Newton y la Ley de Gravitación Universal:
Teniendo en cuenta que la velocidad (que la obtenida es la velocidad orbital), SUPONIENDO EL MOVIMIENTO UNIFORME, es igual al espacio entre el tiempo; que el espacio es la longitud de la circunferencia y el tiempo que tarda en recorrerla se denomina periodo:
LLegamos a la expresión de la Tercera Ley de Kepler, que relaciona el radio de la órbita, con el tiempo que se tarda en recorrerla.
k.- Hallar el periodo del satélite Sopladera 2B en la órbita h1.
l.- El satélite Sopladera 2B, por un fallo en los motores y por la orientación de los mismos, se detiene en la órbita h1. Hallar la velocidad con la que impacta con la Tierra, suponiendo despreciables los rozamientos con la atmósfera (lo cual es mucho suponer, lo sabemos).
m.- Dibujar y obtener el valor de la aceleración del satélite Sopladera 2B en la órbita h1.
n.- Dibujar y obtener el valor del campo gravitatorio que afecta al satélite Sopladera 2B en la órbita h1.