PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:
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SIGUE EL ESQUEMA PLANTEADO PARA EL SEGUIMIENTO DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS II DE 2º DE BACHILLERATO: MATEMÁTICAS II DE 2º DE BACHILLERATO: DESARROLLO DE LA ASIGNATURA
En lo que sigue, demostraremos las ocho primeras propiedades utilizando determinantes de orden 2, por su simplicidad, pero estas propiedades son igualmente válidas para determinantes de cualquier orden.
Para la propiedad 9 y 10, utilizaremos determinantes de orden 3, ya que es necesario como veremos.
ESTAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES, SE BASAN EN LA DEFINICIÓN DE LA OPERACIÓN «DETERMINANTE»:
1) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. Esto nos permite hablar de líneas y referirnos con esto indistintamente a filas o columnas.
2) Si una matriz tiene una fila de ceros, su determinante es cero, pues en cada uno de los sumandos del desarrollo hay un factor cero.
3) Si intercambiamos dos líneas en un matriz, su determinante cambia de signo, pues el sumando con signo negativo pasa a tener signo positivo y viceversa.
4) Si una matriz tiene dos líneas iguales, su determinante es cero:
5) Si multiplicamos cada elemento de una línea de una matriz por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por ese número, ya que queda como un factor común.
6) Si una matriz tiene dos líneas proporcionales su determinante es cero:
7) Si una columna de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse:
8) Si a una línea de una matriz le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía:
basándonos en las propiedades anteriores, en la propiedad 7 para descomponerlo y en la propiedad 6 que nos indica que el segundo determinante es cero.
Para las dos propiedades que nos quedan, necesitamos definir dos nuevos conceptos:
MENOR DE UNA MATRIZ: Es el determinante de una submatriz cuadrada de una matriz inicial.
MENOR COMPLEMENTARIO: Si la matriz inicial es cuadrada, se llama menor complementario de un determinado elemento aij al menor que resulta de suprimir la fila i y la columna j (las del elemento considerado) de la matriz inicial y se nombra αij.
ADJUNTO DE UN ELEMENTO: Es el menor complementario de un elemento, con un signo: positivo, si la i+j del elemento es par y negativo si la i+j del elemento es impar. Se nombra como Aij.
9) Si los elementos de una línea se multiplican por los respectivos adjuntos y se suman los resultados se obtiene el determinante de la matriz inicial. A esto se le llama «DESARROLLAR EL DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LINEA«, propiedad que nos va a servir para obtener determinantes de orden superior a 3 con relativa comodidad.
Vamos a comprobar esta propiedad para un determinante general de orden 3, desarrollándolo por los elementos de la segunda fila.
Sea la matriz A:
10) Si los elementos de una línea se multiplican por los respectivos adjuntos de otra paralela, el resultado de la suma es cero.
Vamos a elegir la segunda fila y la multiplicaremos por los adjuntos de la tercera fila. Esto ocurriría con cualquier otra elección tanto en filas como en columnas:
Partiendo del determinante de A:
Lo que acabamos de decir sería:
(Los elementos de la segunda fila por los adjuntos de la tercera)
Con el siguiente resultado desarrollado con los adjuntos indicados:
Resolviendo los determinantes de orden dos que resultan:
Vemos que cada término tiene su correspondiente igual pero de distinto signo (hemos tachado con el mismo tachón cada término con su pareja de distinto signo), con lo que resulta que el determinante es cero.
11.- EL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TRIANGULAR ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL:
La demostración de esta propiedad es muy sencilla si tomamos cualquier determinante de orden 3 triangular (aquél que tiene todos los elementos por debajo -o por encima- de la diagonal principal) y lo desarrollamos por los elementos de la primera columna. Veremos en este caso que se verifica la propiedad.
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