RANGO DE UNA MATRIZ
RANGO DE UNA MATRIZ:
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RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ:
«Es el número de filas linealmente independientes, que coincide con el número de columnas linealmente independientes.»
Una línea se dice que es linealmente dependiente de otra si es proporcional a ésta última.
Una línea se dice que es linealmente dependiente de otras si se puede expresar como combinación lineal de éstas.
Si una fila de una matriz es combinación lineal de las restantes, el determinante de la matriz es cero.
Si las líneas de una matriz cuadrada son linealmente independientes, su determinante es distinto de cero.
BASADO EN LAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES DE UNA MATRIZ
La condición necesaria y suficiente para que un determinante sea distinto de cero es que sus filas (y sus columnas ) sean linealmente independientes.
Rango de una matriz es el máximo orden de sus menores complementarios* no nulos.
(*) Un menor complementario es el determinante de cualquier submatriz cuadrada.
CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ RECURRIENDO A SUS MENORES:
En primer lugar es aconsejable descubrir a simple vista si hay líneas que sean combinación lineal de otras paralelas o proporcionales, en cuyo caso se prescinde de ellas, en todo el proceso que veremos a continuación.
Si lo hay, se toma un menor de orden 2 no nulo, y se le orla con una fila fija y con las diferentes columnas, obteniendo distintos determinantes de orden 3.
Si todos estos menores de orden 3 son nulos, la fila fija es combinación lineal de las dos que forman el menor de partida y por tanto se prescinde de ella para la búsqueda del rango. En este caso se toma otra fila fija para orlar y se repite todo el proceso con ella. Si al hacer esto con todas las filas, los menores obtenidos son nulos, el rango de la matriz es 2; pero si en este proceso se encuentra un menor de orden 3 no nulo, en ese momento se puede afirmar que el rango de la matriz es al menos 3.
Tomando en este último supuesto el menor de orden 3 no nulo, se le orla con una fila fija y con las distintas columnas, se sigue un proceso análogo al anterior, que conduce o bien a que el rango que buscamos es tres, por haber ido suprimiendo todas las filas con las que se orla, o bien a que el rango es al menos cuatro, si se localiza un menor de orden cuatro no nulo. En este último caso se vuelve a repetir el proceso.
EJERCICIO M2BE1818:
Hallar el rango de la siguiente matriz:
RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO:
Esta matriz como máximo tendrá rango 4, ya que el rango es el número de filas (que coincide con el número de columnas) independientes.
Para calcular el rango utilizando determinantes, se trata de partir de un menor de orden 2 e ir ampliándolo (orlándolo) con las sucesivas columnas y filas fijas. Empecemos:
Eligiendo el primer determinante de orden dos (con las dos primeras filas y dos primeras columnas:
Este resultado nos garantiza que las dos primeras filas son independientes, ya que en su construcción los elementos de los que consta este menor de partida son independientes, por las PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES, con lo que A tiene al menos rango 2.
Se trata ahora de ver si tiene rango 3, para lo cual ampliamos (orlamos) este determinante de orden dos de partida con la siguiente fila y la siguiente columna:
Con lo que con este resultado no podemos asegurar todavía que A tenga rango 3, de hecho nos indica que la tercera columna (los tres primeros elementos de esta tercera columna son combinación de las dos primeras columnas, con lo cual esta tercera columna queda desechada y tenemos que probar con el siguiente menor de orden tres, que es el menor de orden dos distinto de cero de partida ampliado con la tercera fila pero con la siguiente columna, la cuarta:
En este momento podemos afirmar que el rango de A es al menos 3, convirtiéndose este menor de orden 3 en el menor de partida para plantearnos el rango 4; con lo que tenemos que ampliarlo con la siguiente fila (la cuarta) y las sucesivas columnas. Ampliaremos este menor A’’ con la cuarta fila y la quinta columna (no olvidemos que podemos además probar con la tercera columna, ya que al incluir el elemento de la cuarta fila, la tercera columna podría dejar de ser dependiente de las dos primeras columnas). Tomaremos pues las cuatro filas y las columnas primera, segunda, cuarta y quinta.
Para su cálculo lo vamos a desarrollar el determinante por los elementos de una línea, concretamente por los elementos de la tercera columna, que es la que más ceros presenta para simplificar cálculos:
Con lo que podemos afirmar que el rango de A es cuatro, ya que las cuatro filas son independientes como indica que el determinante de orden 4 formado con parte de las filas es distinto de cero.